3 Deskriptive Statistik

Ein Bild sagt mehr als tausend Worte.

Jede statistische Analyse beginnt mit der Beschreibung und der Zusammenfassung der vorliegenden Daten. In diesem Kapitel geht es darum, wie die verschiedenen Datentypen durch Kennzahlen und Grafiken zusammengefasst und präsentiert werden können.

3.1 Lernziele

  1. Beschreibe Daten mit den Begriffen Beobachtungseinheit, Beobachtungsmerkmal (= Variable), Ausprägung von Beobachtungsmerkmalen.
  2. Unterscheide quantitative und qualitative Daten.
  • Unterscheide bei quantitativen Daten zwischen kontinuierlichen und diskreten Variablen.
  • Unterscheide bei qualitativen Daten zwischen nominalen (= kategoriale) und ordinalen Variablen.
  1. Erwähne bei der Beschreibung von quantitativen Daten die Form der Verteilung und die Kennzahlen der Lage und der Streuung.
  • Kennzahlen der Lage: Mittelwert \(\bar{x}\) und Median
  • Kennzahlen der Streuung: Varianz \(s^2\), Standardabweichung \(s\), Variationsbreite
    (= Spannweite) und Interquartilabstand (\(IQR\), engl. interquartile range)
  1. Beschreibe die Verteilung einer Variable als symmetrisch, rechtsschief oder linksschief.
  2. Verwende Histogramme und Boxplots um die Verteilung von quantitativen Daten zu beschreiben.
  3. Definiere robuste statisische Kennzahlen wie Median und IQR als Kennzahlen, die wenig von der Verteilungsform und von Extremwerten (Ausreissern) beeinflusst werden.
  4. Verwende Kreuztabellen und Balkendiagramme zur Beschreibung von qualitativen Daten.

3.2 Grundbegriffe

Wir verwenden in diesem Kapitel einen Datensatz mit biometrischen Merkmalen von Studierenden

Tabelle 3.1: Daten der ersten 5 Studierenden im Datensatz 02_physio.csv (n = 228)
ID Kohorte Klasse Geschlecht Augenfarbe Groesse Gewicht Statistik
1 phy14 2 w blau 170 62 3
2 phy14 1 w gruen 160 56 2
3 phy14 1 w blau 169 68 2
4 phy14 1 m blau 182 70 2
5 phy14 1 w gruen 173 73 2

Codebook:

ID: Student:in
Kohorte: Jahrgang: PHY14, PHY15, PHY16, PHY17
Klasse: Klasse: 1, 2
Geschlecht: Geschlecht: m = männlich, w = weiblich
Augenfarbe: Farbe: blau, grün, braun
Groesse: Körpergrösse in cm
Gewicht: Körpergewicht in kg
Statistik: Interesse am Fach Statistik \(^a\)

\(^a\) Frage: “Statistik interessiert mich”
Auswahlitems:
1 trifft nicht zu
2 trifft kaum zu
3 trifft etwas zu
4 trifft eher zu
5 trifft sehr zu

In der Statistik beobachten wir typischerweise verschiedene (Beobachtungs-)Merkmale, wie das Geschlecht, die Körpergröße oder die Zugehörigkeit zu einer Klasse in der Datenerhebung im Studiengang Physiotherapie, an Beobachtungseinheiten, im vorliegenden Fall an Studierenden. Solche Merkmale bezeichnen wir als Variablen und die Werte, welche die Variablen annehmen können als Merkmalsausprägungen.

Bei der Datenerhebung in Studien werden die Daten in Tabellen erfasst. In diesen
Datentabellen (Datensätzen) wird für jedes erhobene Merkmale in eine separate Spalte erstellt. Jede Beobachtungseinheit wird in einer separaten Zeile erfasst, in der die jeweilige Ausprägung der Merkmale eingetragen wird. Ein Fehler der häufig gemacht wird, ist der, dass pro Zelle mehr als eine Ausprägung erfasst wird, was die spätere Auswertung der Daten erheblich erschwert oder sogar unmöglich macht (Wickham 2014).

3.3 Quantitative und qualitative Daten

Als erste Eigenschaft unterscheiden wir zwischen qualitativen und quantitativen Variablen, je nachdem, welche Werte die Variable annehmen und wie man mathematisch damit umgehen kann.

Quantitative Variablen sind Beobachtungsmerkmale, die wir durch Messen oder Zählen ermitteln. Mit quantitativen Daten können wir sinnvolle mathematische Operationen durchführen, wie z.B. einen Durchschnitt bestimmen.

Bei quantitativen Daten unterscheiden wir zwei Unterkategorien:

  • quantitativ-kontinuierliche Variablen werden durch Messung erhoben. Sie werden auch als numerische oder stetige Variablen bezeichnet. Im phy- Datensatz sind Groesse, Gewicht und Schuhgroesse kontinuierliche Variablen.
  • quantitativ-diskrete Variablen werden durch Zählen erhoben. Sie können nur ganzzahlige Werte annehmen. Beispiele sind Anzahl roter Blutkörperchen pro ml Blut oder die Anzahl Geschwister einer Person.

Qualitative Variablen sind Beobachtungsmerkmale, die wir nicht durch messen oder zählen, sondern durch direkte Anschauung ermitteln. Qualitative Daten lassen sich nicht sinnvoll addieren oder subtrahieren, d.h. wir können z.B. keinen Durchschnitt wie bei quantitativen Daten berechnen. Qualitative Daten eignen sich jedoch für Vergleiche z.B. für den Vergleich der durchschnittlichen Körpergrösse von Männern und Frauen.

Auch bei qualitativen Daten unterscheiden wir zwei Unterkategorien:

  • qualitativ-nominal: Die Variable gibt eine Gruppenzugehörigkeit an. Im physio- Datensatz sind die Variablen ID, Kohorte, Klasse, Augenfarbe und Geschlecht diesem Variablentyp zuzuordnen.
  • qualitativ-ordinal: Bei diesem Typ sind die Kategorien logisch geordnet, wie z. B. der Schweregrad einer Krankheit oder die Antworten „stimme nicht zu”, „stimme teilweise zu”, „stimme zu” in einer Umfrage. Im physio-Datensatz entspricht die Variable Statistik diesem Variablentyp.

3.4 Quantitative Daten zusammenfassen

Mit Hilfe von Kennzahlen lassen sich Variablen zusammenfassen. Kennzahlen der zentralen Tendenz (Lagemasse) geben Auskunft über den “Schwerpunkt” einer Variablen und Kennzahlen der Streuung vermitteln uns einen Eindruck darüber, wie die Variablenwerte um diesen Schwerpunkt verteilt sind. In vielen Fällen sind Grafiken (engl. plots) einfacher lesbar als umfangreiche Tabellen.

3.4.1 Kennzahlen der zentralen Tendenz (Lagemasse)

Mittelwert

Das gebräuchlichste Lagemass ist der Mittelwert (auch Durchschnitt). Der Mittelwert ist derjenige Wert, der die Daten auf einer „Waage” ausbalanciert. Wir nehmen dabei an, dass die Waage kein Gewicht hat und alle Beobachtungen gleich schwer sind. Weit entfernte Beobachtungen haben eine starke „Hebelkraft”, also einen starken Einfluss auf den Mittelwert.

Der Mittelwert (engl. mean) von \(n\) Beobachtungen \(x_1, x_2, ..., x_n\) ist

\[\bar{x} = \frac{(x_1 + x_2 + ... + x_n)}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\]

Mittelwert

Abbildung 3.1: Mittelwert

In der Abbildung 3.1 ist erkennbar, dass wenn die zwei höchsten Werte aus der Abbildung links nach rechts verschoben werden, also höhere Werte annehmen, sich auch der Mittelwert nach rechts verschiebt und somit grösser wird.

Den Mittelwert einer Variable in R berechnen (R Core Team 2022):

### R-Code

# Daten generieren   
x <- c(2, 2, 3, 3, 4)

# Mittelwert von x berechnen
mean(x)
## [1] 2.8

Median

Der Median beschreibt die „Mitte”, den „50 %-Punkt” der Daten. Als Spezialfall eines Perzentils ist der Median definiert als ein Wert, der die Daten in zwei gleiche Hälften teilt.

Bestimmung des Medians:

  • Gegeben ist eine Variable \(x\) mit den Werten \(x = (3, 2, 2, 2, 4)\)
  • Werte der Variablen \(x\) nach Grösse sortieren: \(2, 2, 2, 3, 4\)
  • Der Wert, der die Zahlenreihe halbiert ist der Median: \(Median = 2\)

Wenn die Variable eine geradzahlige Anzahl an Werten hat,

  • bestimmen wir das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte: \(x = (3, 2, 2, 2, 4, 4)\)
  • Werte nach Grösse sortieren: \(2, 2, 2, 3, 4, 4\)
  • Die beiden mittleren Werte sind \(2\) und \(3\), das arithmetische Mittel ist 2.5, d.h. \(Median = 2.5\)

Den Median einer Variable in R berechnen:

### R-Code

# Daten generieren   
x <- c(2, 2, 2, 3, 4)

# Median von x berechnen
median(x)
## [1] 2
# Höchsten Wert von x erhöhen   
x <- c(2, 2, 2, 3, 20)  

# Median von x berechnen   
median(x)  
## [1] 2
# Variable x mit geradzahliger Anzahl an Werten 
x <- c(3, 2, 2, 2, 4, 4)

# Median von x berechnen   
median(x)  
## [1] 2.5

Einfluss extremer Werte auf den Median:

Median

Abbildung 3.2: Median

Die Abbildung 3.2 zeigt, dass eine Verschiebung der beiden höchsten Werte in der Abbildung links keinen Einfluss auf den Median hat. Die Eigenschaft, dass eine Kennzahl oder Methode nicht stark von einzelnen Werten abhängt, bezeichnet man als robust.

Merke: Der Mittelwert ist empfindlich für Extremwerte, der Median hingegen ist robust.

Mittelwert oder Median

Auswahl der Kennzahl der Lage ist abhängigig davon, wie die Daten verteilt sind und welchen Aspekt der Verteilung mit der Kennzahl dokumentiert werden soll.

Wir illustrieren das am Beispiel der Verteilung der monatlichen Einkommens von Schweizer Frauen im Jahr 2018 (Quelle: Bundesamt für Statistik).

Monatliches Einkommen Frauen CH, 2018

Abbildung 3.3: Monatliches Einkommen Frauen CH, 2018

Das monatliche Einkommen ist rechtsschief verteilt. Es beträgt im Durchschnitt CHF 4600.-, der Median liegt mit CHF 4000.- um CHF 600.- (13%) tiefer. Der Mittelwert ist vergleichsweise hoch, weil einige wenige sehr gut verdienende Personen diesen “nach oben” ziehen. Für die Einzelperson hat daher der Mittelwert wenig Aussagekraft, informativer ist für diese der Median. Die Steuerbehörde interessiert sich eher für den Mittelwert, der es z.B. erlaubt, das totale Einkommen der Stadt und die zu erwartenden Steuern zu berechnen.

Ob zur Charakterisierung einer Variablen der Mittelwert oder Median verwendet werden soll, ist von den Antworten auf die folgenden Fragen abhängig:

  • Soll ein typischer (Median) oder durchschnittlicher (Mittelwert) Wert als Repräsentant der Variablen angegeben werden.
  • Was hat die Verteilung für eine Form? Ist sie schief oder symmetrisch?
  • Welche inferenzstatistischen Auswertungsmethoden werden für die Variable gewählt? Wenn parametrische Verfahren (t-Tests) durchgeführt werden wird eher der Mittelwert angegeben, wenn nicht-parametrische Verfahren (Rangtests) durchgeführt werden wird eher der Median berichtet.

Perzentile

Perzentile (auch Quantile) sind Hilfsmittel zur Beschreibung der Verteilung von Daten. Die Definition für ein Perzentil ist etwas schwerfällig:

Eine Zahl \(p_k\) heißt \(k\)-tes Perzentil (\(k\) bezeichnet hierbei eine ganze Zahl zwischen 1 und 99) einer Variablen, wenn mindestens \(k\) % der Beobachtungen der Variable kleiner oder gleich \(p_k\) und mindestens (100 - \(k\))% größer oder gleich \(p_k\) sind.

Einfacher geht es mit einem Beispiel: Uns interessiert, wo die Grenze zwischen dem unteren und dem mittleren Drittel beim Einkommen von Frauen in der Schweiz liegt. Das bedeutet, wir müssen das 33. Perzentil der Einkommensverteilung bestimmen.

### R-Code

# 33. Perzentile berechnen
quantile(einkommen$Einkommen, .33)
## 33% 
##   3

Interpretation: Wir erhalten für die 33. Perzentile den Wert 3. Die Angaben sind jeweils mit 1000 zu multiplizieren. Die 33% Frauen mit dem niedrigsten monatlichen Einkommen verdienen zwischen 0 und 3000 CHF.

Quartile sind spezielle Perzentilen, welche eine Variable in vier gleiche Teile unterteilen. Das 1. Quartil (auch unteres Quartil) ist das 25. Perzentil, das 2. Quartil ist das 50. Perzentil (also der Median) und das 3. Quartil (auch oberes Quartil) ist das 75. Perzentil.

### R-Code

# Quartile berechnen
quantile(einkommen$Einkommen, c(.25, .5, .75))
## 25% 50% 75% 
##   3   4   6

Intepretation:

  • 25% der Frauen verdienen CHF 3000.- oder weniger
  • 25% der Frauen verdienen zwischen CHF 3000.- und 4000.-.
  • 25% der Frauen verdienen zwischen CHF 4000.- und 6000.-.
  • 25% der Frauen verdienen CHF 6000.- oder mehr.

3.4.2 Exkurs: Der Mittelwert als Kleinst-Quadrat-Modell

Im Hinblick auf das Streuungsmass Varianz und später erläuterte statistische Methoden wird hier ergänzend ein etwas anderes Konzept des Mittelwerts vorgestellt.

Beispiel: Wie viele Freunde haben Statistik-Lehrer?

Aus einer kleinen Umfrage liegen uns die Daten für fünf Statistiklehrer vor:

Tabelle 3.2: Anzahl Freunde von Statistiklehrern
ID Freunde
1 1
2 2
3 3
4 3
5 4
Streudiagramm Anzahl Freunde

Abbildung 3.4: Streudiagramm Anzahl Freunde

Aus dem Streudiagramm 3.4 schätzen wir den Mittelwert. Als erstes entscheiden wir uns für einen Mittelwert \(\bar{x} = 2\)

Geschätzter Mittelwert = 2

Abbildung 3.5: Geschätzter Mittelwert = 2

Die horizontale schwarze Linie gibt unseren geschätzen Mittelwert von \(\bar{x} = 2\) an. Die gelben Linien geben den Abstand zum Mittelwert an. Die Länge der Linien gibt die Grösse des Fehlers \(e\) an, um den unser geschätzter Mittelwert jeden einzelnen Messpunkt unter- oder überschätzt. Die Summe der Grösse der Fehler \(e\) ergibt den gesamten Fehler in unserem Modell. Es hat sich in der Statistik allerdings als Standard etabliert, dass nicht die Summe der einfachen Fehler \(e\) , sondern die Summe der quadrierten Fehler \(e^2\) berücksichtigt wird. Dies, weil damit einerseits negative Werte für Fehler, welche die Fehlersumme fälschlicherweise zu klein erscheinen lassen, vermieden werden und andererseits grosse Fehler das System “bestrafen.” (Durch das Quadrieren werden Fehler die kleiner als 1 sind noch kleiner, z.B. \(0.5^2 = 0.25\) und Fehler die grösser als 1 sind, erhalten ein grösseres Gewicht, z.B. \(2^2 = 4\).)

Tabelle 3.3: Fehler e und Fehlerquadrate e_sq bei geschätztem Mittelwert = 2
ID Freunde Est e e_sq
1 1 2 -1 1
2 2 2 0 0
3 3 2 1 1
4 3 2 1 1
5 4 2 2 4

Wir addieren aus der Tabelle 3.3 die Werte der quadrierten Fehler \(e^2\) (= e_sq) und erhalten für unser Modell mit \(\bar{x} = 2\) eine Fehlerquadratsumme von 7. Wir können jetzt unseren Fehler mit der Zahl 7 quantifizieren.

Vielleicht gibt es aber einen besseren Mittelwert und als nächstes schätzen wir einen Mittelwert \(\bar{x} = 4\) (wir wissen, dass das nicht stimmen kann, es geht um das Verständnis des Konzepts). Wiederum berechnen wir die Fehlerquadratsumme.

Geschätzter Mittelwert = 4

Abbildung 3.6: Geschätzter Mittelwert = 4

Tabelle 3.4: Fehler und Fehlerquadrate bei geschätztem Mittelwert = 4
ID Freunde Est e e_sq
1 1 4 -3 9
2 2 4 -2 4
3 3 4 -1 1
4 3 4 -1 1
5 4 4 0 0

Bei einem geschätzten Mittelwert \(\bar{x}\) ergibt sich gemäss Tabelle 3.4 eine Fehlerquadratsumme von 15.

Jetzt setzen wir den wahren Mittelwert \(\bar{x} = 2.6\) ein und machen das ganze noch einmal.

Fehler bei wahrem Mittelwert = 2.6

Abbildung 3.7: Fehler bei wahrem Mittelwert = 2.6

Tabelle 3.5: Fehler und Fehlerquadrate beim wahren Mittelwert = 2.6
ID Freunde Est e e_sq
1 1 2.6 -1.6 2.56
2 2 2.6 -0.6 0.36
3 3 2.6 0.4 0.16
4 3 2.6 0.4 0.16
5 4 2.6 1.4 1.96

Der wahre Mittelwert ergibt eine Fehlerquadratsumme von 5.2. Dieser Wert ist kleiner als die Fehlerquadratsumme für die beiden anderen geschätzten Mittelwerte und wir halten fest: Der Mittelwert einer Variable ist der Wert, der die Fehlerquadratsumme minimiert.

Grafisch dargestellt:

Verteilung der Fehlerquadratsummen

Abbildung 3.8: Verteilung der Fehlerquadratsummen

Der Mittelwert \(\bar{x} = 2.6\) entspricht der Stelle, an der die Summe der quadrierten Fehler minimal ist \(\sum{e_i} = 5.2\).

Das Verfahren der Bestimmung der Fehlerquadratsumme ist ein grundlegendes Prinzip in der Statistik, das bei zahlreichen Verfahren zum Einsatz kommt.

3.4.3 Kennzahlen der Streuung (Streuungsmasse)

Lagemasse beschreiben einen Aspekt einer Stichprobe oder einer Verteilung. Abbildung 3.9 verdeutlicht, dass Lagemasse nicht ausreichen, um eine Verteilung genügend zu charakterisieren. Beide Stichproben haben einen Mittelwert von 0 (senkrechte Linie), trotzdem würden wir nicht behaupten, dass sie aus der gleichen Verteilung stammen: Die Beobachtungen in der oberen Stichprobe „streuen” mehr, sie sind im Mittel weiter weg vom Mittelwert. Kennzahlen der Streuung quantifizieren diese Eigenschaft.

Zwei Variablen mit Mittelwert 0

Abbildung 3.9: Zwei Variablen mit Mittelwert 0

Varianz

Die Varianz einer Stichprobe (engl. variance) ist die mittlere quadratische Abweichung der Beobachtungen vom Mittelwert:

\[s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{n-1} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\]

Um die Variabilität der Stichprobe in einer Zahl zusammenzufassen, wäre man auf den ersten Blick versucht, die Abweichungen \(x_1-\bar{x}... x_n-\bar{x}\) der Beobachtungen vom Mittelwert zu mitteln. Dies würde allerdings bedeuten, dass sich positive und negative Abweichungen gegenseitig aufheben, und die „Varianz” wäre dann 0. Dieses Vorgehen ist deshalb ungeeignet. Werden die Abweichungen \(x_i-\bar{x}\) jedoch quadriert, dann gehen sie alle positiv in die Summe ein, d. h., eine gegebene Abweichung vom Mittelwert nach unten trägt gleichviel bei wie die identische Abweichung vom Mittelwert nach oben. Die Verwendung von \(n-1\) als Nenner hat einen theoretischen Hintergrund, auf den an dieser Stelle nicht eingegangen wird (die Herleitung ist mathematisch komplex, siehe z.B. Wikipedia).

Berechnung der Varianz einer Variablen \(x\) in R

### R-Code

# Variable x erzeugen
x <- c(1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5)

# Varianz von x berechnen  
var(x)
## [1] 2.285714

Standardabweichung \(s\)

Gemäß ihrer Definition wird die Varianz \(s^2\) im Quadrat der Einheit der ursprünglichen Daten angegeben (bei der Körpergröße z. B. \(cm^2\) ). Um eine Kennzahl auf derselben Skala wie die Originaldaten zu erhalten, ist es gebräuchlich, die Wurzel aus der Varianz, die Standardabweichung \(s\) (engl. standard deviation, SD) zu berechnen.

\[s=\sqrt{s^2}\]

Die Standardabweichung hat die gleiche Einheit wie die Originaldaten, beispielsweise bei der Körpergrösse sind es cm. In Abbildung 3.9 betragen die Standardabweichungen 1.18 für die blaue Stichprobe und 0.21 für die rote Stichprobe.

Berechnung der Standardabweichung einer Variablen \(x\) in R

### R-Code

# Variable x erzeugen
x <- c(1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5)

# Standardabweichung von x berechnen  
sd(x)
## [1] 1.511858
# Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz berechnen
sqrt(var(x))
## [1] 1.511858

Spannweite

Die Spannweite (engl. range), auch Variationsbreite, ist die Differenz zwischen Maximum und Minimum und gibt den Bereich an, in dem die Daten liegen.

\[Spannweite = Maximum - Minimum\]

Die Spannbreite wird nur durch die Extremwerte einer Stichprobe bestimmt und ist daher sehr empfindlich für Extremwerte und damit wenig robust.

Berechnung der Spannbreite einer Variablen \(x\) in R

### R-Code

# Variable x erzeugen
x <- c(1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5)

# Spannweite von x berechnen  
max(x) - min(x)
## [1] 4

Interquartilsabstand

Der Interquartilsabstand (engl. interquartile range, IQR) ist die Differenz zwischen dem 75. und dem 25. Perzentil. Der \(IQR\) umfasst die Spannweite der mittleren 50% der Daten.

Der IQR beschreibt die Länge der Box im Boxplot, welche die zentralen 50% der Daten umfasst.

Berechnung des IQR einer Variablen \(x\) in R

### R-Code

# Daten generieren
x <- c(19, 19, 20, 21, 21, 21, 22, 23, 23, 27, 27, 29, 29, 31)

# IQR für x berechnen
IQR(x)
## [1] 6
# Quartile für x berechnen
quantile(x, c(.25, .75))
## 25% 75% 
##  21  27

3.4.4 Grafiken für quantitative Daten

Grafiken sind elementare Werkzeuge der Datenanalyse. Sie eignen sich auch dafür, Muster in den Daten einem grösseren Publikum vorzustellen. Mit geeigneten grafischen Darstellungen können die Eigenschaften einer Verteilung rasch beurteilt und mehrere Stichproben leicht miteinander verglichen werden.

Histogramm

Mit einem Histogramm wird die Verteilung von quantitativen Daten visualisiert. Dazu wird der Bereich der Daten in gleiche, anliegende aber sich nicht überlappende Intervalle (Klassen) zerlegt. Dann zählt man die Anzahl der Beobachtungen in jedem Intervall und erstellt ein Balkendiagramm.

Körpergrösse von Studentinnen, n = 183

Abbildung 3.10: Körpergrösse von Studentinnen, n = 183

Die Abbildung 3.10 zeigt vier Histogramme der gleichen Variablen (Körpergrösse von Studentinnen) mit unterschiedlichen Klassenbreiten: (A) Klassenbreite = 1, (B) Klassenbreite = 2, (C) Klassenbreite = 5 und (D) Klassenbreite = 10. Bei der Wahl der Klassenbreite muss man etwas “spielen” um ein aussagekräftiges Bild zu erhalten. Wählt man die Klassenbreite zu klein, entsteht ein zu detailliertes Bild, das keine gute Übersicht zulässt und Lücken aufweist; wählt man die Klassenbreite zu gross, verliert man zu viel an Detailinformation. Im Gegensatz zum im weiter unten vorgestellten Balkendiagramm für qualitative Daten, bestehen zwischen den Balken eines Histogramms keine Lücken (ausser bei fehlenden Daten), da die x-Achse ein kontinuierliches Datenspektrum darstellt.

Am Histogramm beurteilen wir
- die Streubreite, d.h. die Variablilität der Daten.
- die Spitze (-n), d.h. die höchsten Gruppen von Balken.
- die Symmetrie, d.h. ob die Verteilung symmetrisch um ihren Mittelpunkt, links- oder rechtsschief ist.

Ein einfaches Histogramm in R erstellen

### R-Code

# Körpergrösse von 183 Studentinnen
groesse <- c(170, 160, 169, 173, 172, 170, 167, 175, 173, 169, 169, 169, 180, 164, 165, 168, 167, 156, 161, 170, 168, 170, 175, 165, 165, 164, 170, 170, 170, 171, 164, 168, 168, 170, 164, 170, 165, 172, 167, 164, 162, 172, 162, 168, 170, 165, 172, 162, 165, 174, 167, 168, 169, 164, 165, 162, 163, 165, 161, 157, 170, 171, 163, 171, 161, 164, 166, 164, 174, 164, 181, 168, 163, 169, 160, 160, 148, 163, 165, 155, 158, 174, 168, 163, 170, 178, 159, 170, 163, 171, 172, 171, 178, 163, 164, 176, 168, 170, 171, 173, 162, 156, 174, 165, 168, 165, 177, 168, 160, 165, 163, 170, 168, 168, 158, 163, 161, 165, 165, 168, 180, 162, 162, 162, 162, 174, 168, 160, 178, 160, 168, 162, 177, 180, 170, 172, 163, 168, 156, 166, 168, 171, 165, 166, 160, 169, 167, 171, 158, 156, 166, 164, 163, 175, 163, 166, 162, 163, 160, 168, 163, 164, 172, 166, 164, 162, 170, 183, 168, 170, 165, 172, 160, 164, 163, 179, 170, 158, 164, 167, 175, 178, 170)

# Die interessierende Variable ist phy_w$Groesse
hist(groesse)

# mit dem Parameter breaks = kann die Anzahl der Klassen definiert werden
hist(groesse, breaks = 35)

# Anpassung der Beschriftung
hist(groesse,
     main = "Körpergrösse von Studentinnen (n = 183)",
     xlab = "Grösse (cm)",
     ylab = "Anzahl")

Boxplot

Boxplots sind ein weiteres grafisches Hilfsmittel, um die Verteilung von Daten zu visualisieren, verschiedene Gruppen oder Zeitpunkte zu vergleichen und auffällige Werte zu entdecken. Boxplots gehören zu den vom Autor bevorzugten Grafiken, da sie eine grosse Menge an Informationen enthalten.

Die „Box” im Boxplot (engl. box and whiskers plot) gibt den Bereich vom 25. zum 75. Perzentil an, der horizontale Strich in der Box den Median. Die Stäbe (engl. whiskers), die aus der Box herausragen, sind nicht einheitlich definiert. Bei einfachen Boxplots reichen sie zum Minimum und zum Maximum. Eine verbreitete Definition, die auf John W. Tukey zurückgeht, besteht darin, die Länge der Whiskers auf maximal das 1,5-fache der Boxlänge zu beschränken. Beobachtungen ausserhalb dieses Bereichs werden als Ausreisser gekennzeichnet.

Boxplot für die Grösse von 50 Frauen

Die Abbildung illustriert die Definitionen des Boxplots an der Grösse von 50 Frauen.

Am Boxplot beurteilen wir
- die Spannweite
- die Lage der zentralen 50% der Daten (IQR)
- die Lage des Medians
- die Verteilung der Daten.

Liegt der Median etwa in der Mitte zwischen dem 25. und dem 75. Perzentil, können wir von einer symmetrischen Verteilung der Daten ausgehen. Liegt der Median näher am 25. Perzentil, spricht dies eher für eine rechtsschiefe Verteilung, liegt er näher am 75. Perzentil, spricht dies eher für eine linksschiefe Verteilung.

Boxplots eignen sich sehr gut für den Vergleich von Gruppen.

Körpergrösse von Studierenden

Abbildung 3.11: Körpergrösse von Studierenden

Die Abbildung 3.11 zeigt die Verteilung der Körpergrösse von Studentinnen und Studenten. Auf den ersten Blick ist erkennbar, dass die Studentinnen im Durchschnitt kleiner sind als die Studenten. Die Grösse bei den Frauen liegt etwa zwischen 148 cm (Minimum) und 178 cm (Maximum), bei den Männern etwa zwischen 169 cm und 198 cm. Der Median bei Frauen liegt bei 167.5 cm und bei Männern bei 180 cm. 50% der Frauen sind zwischen 163 cm und 170 cm gross (IQR), 50% der Männer sind zwischen 175 cm und 189 cm gross. Der Median liegt nicht exakt in der Mitte der Box und ist bei beiden Geschlechtern leicht zum 75. Perzentil verschoben, was ein Hinweis auf eine leicht linksschiefe Verteilung sein könnte.

Einen einfachen Boxplot in R erstellen

Wir verwenden den Datensatz PlantGrowth, der bereits mit R mitgeliefert wird. Er umfasst die Ergebnisse eines Experiments, das den Einfluss von zwei verschiedenen Düngern auf die Ernte einer Pflanze untersucht. Der Datensatz besteht aus zwei Variablen:

  • weight: Trockengewicht der Pflanzen
  • group: 3 Gruppen: ctrl = Kontrollgruppe, trt1 = Dünger 1, trt2 = Dünger 2
  • Jede Gruppe umfasst n = 10 Messungen.
### R-Code

# Datensatz laden
data("PlantGrowth")

# Boxplot für die Verteilung des Gewichts erstellen
boxplot(PlantGrowth$weight)

# Boxplot für die Verteilung des Gewichts nach Gruppe erstellen
boxplot(weight ~ group, data = PlantGrowth)   

# Boxplot beschriften  
boxplot(weight ~ group, data = PlantGrowth,
        main = "Trockengewicht, n = 10 pro Gruppe",
        xlab = "Gruppe",
        ylab = "Gewicht (g)")  

# Extra: Boxplots einfärben  
boxplot(weight ~ group, data = PlantGrowth,
        main = "Trockengewicht, n = 10 pro Gruppe",
        xlab = "Gruppe",
        ylab = "Gewicht (g)",
        col = c("yellow", "orange", "pink"))

3.5 Qualitative Daten zusammenfassen

Bei diskreten Daten interessiert man sich für die Häufigkeiten der vorkommenden Kategorien. Diese Häufigkeiten werden können absolut (Anzahl) oder relativ (in Prozentzahlen) angegeben werden. Werden relative Häufigkeiten angegeben, sollten immer auch die absoluten Häufigkeiten dargestellt werden.

3.5.1 Kreuztabellen

Qualitative Daten können in einer Kreuztabelle (engl. contingency table) zusammenfassend dargestellt werden.

Tabelle 3.6: Augenfarben von 228 Studierenden
Augenfarbe n Prozent
blau 99 43.4
braun 78 34.2
gruen 51 22.4
Total 228 100.0

In Tabelle 3.6 sind die Augenfarben von 228 Studierenden in einer Kreuztabelle zusammengefasst. Die Spalte n gibt die absoluten Häufigkeiten an, die Spalter Prozent die relativen Häufigkeiten in Prozent.

Tabelle 3.7: Augenfarben nach Geschlecht
Augenfarbe m w Summe
blau 19 80 99
braun 12 66 78
gruen 14 37 51
Total 45 183 228

Bei der Berechnung von Prozentzahlen (relativen Häufigkeiten) gilt es immer genau zu überlegen, welche Anzahl als 100% festgelegt werden soll: Wir können Prozentzahlen bezüglich der Spalten- oder Zeilentotale der Tabelle sowie der totalen Anzahl Beobachtungen in der Tabelle berechnen. Welche Zahlen berechnet werden sollen, hängt von der Fragestellung ab.

3.5.2 Balkendiagramme

Eine geeignete grafische Darstellung von Tabelle 3.6 ist ein Balkendiagramm.Da die x-Achse getrennte Kategorien bezeichnet, liegen die Balken nicht aneinander, sondern werden mit einem kleinen Abstand dazwischen gezeichnet.

Augenfarben von Studierenden, n = 228

Abbildung 3.12: Augenfarben von Studierenden, n = 228

Die Höhe der Balken entspricht der Anzahl Beobachtungseinheiten in einer Kategorie. Für jede Kategorie wird ein separater Balken erstellt.

Balkendiagramme in R erstellen

### R-Code

barplot(table(phy$Augenfarbe))

Eine Alternative zu Balkendiagrammen sind Tortendiagramme. Allerdings sind Tortendiagramme visuell schwierig zu beurteilen, da das menschliche Auge Längenunterschiede besser beurteilen kann als Flächenunterschiede. Von Tortendiagrammen wird daher abgeraten.

Kuchendiagramme vs. Balkendiagramme

Abbildung 3.13: Kuchendiagramme vs. Balkendiagramme

In den Tortendiagrammen sind die Grössenunterschiede der fünf Kategorien kaum zu differenzieren, ganz im Gegensatz zu den Balkendiagrammen.

Hier noch ein nicht ganz ernst gemeintes Tortendiagramm:

Pyramide - R Code in der Helpdatei zu pie()

Abbildung 3.14: Pyramide - R Code in der Helpdatei zu pie()

3.6 Grundregeln für die Erstellung von Grafiken

Effektive Datenvisualisierungen sind die Voraussetzung jeder Datenanalyse, da sie allgemeine Muster in den Daten zeigen, was bei der reinen Betrachtung von Rohdaten nicht der Fall ist. Datenvisualisierungen werden von unserem Gehirn besser verarbeitet als einzelne Zahlen oder Zahlentabellen. Deshalb sind für die Präsentation von Daten Grafiken, wenn immer möglich, Zahlentabellen vorzuziehen. Mittels moderner Software kann eine Vielzahl von Grafiken erstellt werden, allerdings ist nicht jede Grafik auch eine gute Grafik. Die zahllosen Gestaltungsmöglichkeiten können schnell zur Erstellung von “fancy” Grafiken verleiten die zwar effektvoll aussehen, jedoch wenig bis keine Information über die Daten selbst vermitteln. Deshalb hier ein paar Grundregeln für die Erstellung von Grafiken für statistische Zwecke:

  1. Die Daten stehen im Mittelpunkt. Eine gute Grafik visualisiert die Daten und hilft dem Auge, Muster zu erkennen. Sie erleichtert die Beurteilung der Verteilung der Daten und den Vergleich von Messungen in verschiedenen Gruppen.
  2. Es sollen alle relevanten Informationen mit möglichst wenigen grafischen Elementen dargestellt werden.
  3. Keep it simple! Vermeide Ablenkung wie 3D-Effekte, Schatten, unnötige Farben, unruhige Hintergründe.
  4. Es soll klar ersichtlich sein, was dargestellt ist: Eine gute Grafik enthält
  • eine Überschrift
  • Achsenbeschriftungen, gegebenenfalls mit der Angabe von Einheiten
  • Angaben zu Stichprobenumfang, Erhebungszeitpunkt, Gruppen
  1. Die Daten werden möglichst unverzerrt dargestellt.
Serotoninspiegel von Heuschrecken in engem Habitat, n = 10

Abbildung 3.15: Serotoninspiegel von Heuschrecken in engem Habitat, n = 10

In der linken Grafik in Abbildung 3.15 ist die Streuung der Daten zu den drei Messzeitpunkten leicht zu erkennen. Jeder blaue Punkt stellt eine Messung dar und wir erkennen, dass die Mehrheit der Punkte unter dem Mittelwert liegen. Der Boxplot zeigt die Verteilung der Daten und den Median, der rote Punkt gibt den Mittelwert an. Wir erkennen dass mit zunehmender Behandlungsdauer der durchschnittliche Serotoninspiegel ansteigt. Die rechte Grafik zeigt nur die Mittelwerte zu den drei Messzeitpunkten. Der Informationsgehalt dieser Grafik ist minimal.

Häufige Fehler bei der Erstellung von Grafiken für statistische Zwecke

  • Mangelhafte Beschriftung (Achsenbeschriftungen fehlen oder sind ungenau, Stichprobenumfänge nicht angegeben, Titel fehlt)
  • Skalenfehler wie z.B. unterschiedliche Skalen bei vergleichenden Grafiken, y-Achse beginnt nicht bei 0 bei Histogrammen oder Balkendiagrammen.
Schlusskurse der Apple-Aktie 1.1. bis 24.11.2021

Abbildung 3.16: Schlusskurse der Apple-Aktie 1.1. bis 24.11.2021

Beide Grafiken in Abbildung 3.16 visualiseren die Schlusskurse der Appleaktie (AAPL) im Jahr 2021. In der linken Abbildung ist die y-Achse ist auf den Datenbereich zwischen 115 und 165 beschränkt. Die wirken die Kursausschläge wirken extrem und suggerieren eine Verdoppelung des Aktienwerts zwischen der ersten und der zweiten Jahreshälfte. In der Abbildung rechts, beginnt die y-Achse bei 0 und die Ausschläge wirken eher moderat. Wenn es darum geht, Unterschiede darzustellen, macht die rechte Grafik Sinn, wenn es wichtig ist Grössenverhältnisse darzustellen ist die rechte Grafik eher geeignet.

Geeignete Darstellungen von Daten

  • für eine nominale Variable: Kreuztabelle, Balkendiagramm
  • für eine quantitative Variable: Histogramm, Boxplot, Liniendiagramm
  • Zusammenhang zwischen zwei nominalen Variablen: Kreuztabelle, gruppiertes Balkendiagramm
  • Zusammenhang zwischen quantitativen Variablen: Streudiagramm
  • Zusammenhang zwischen einer quantitativen Variablen und einer nominalen Variablen: Gruppierte Boxplots oder mehrere Histogramme (Achte auf gleiche Skalierung der Achsen).
Länge der Kelchblätter von drei Iris-Spezies, n = 50/Spezies

Abbildung 3.17: Länge der Kelchblätter von drei Iris-Spezies, n = 50/Spezies

Im Iris-Datensatz (Bestandteil von R) ist Species eine nominale Variable und die Länge der Kelchblätter Sepal.Length eine kontinuierliche Variable. Die Abbildung 3.17 zeigt zwei Möglichkeiten des Zusammenhangs: Links als gruppierter Boxplot und rechts als Histogramm.

References

R Core Team. 2022. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/.
Wickham, Hadley. 2014. “Tidy Data.” Journal of Statistical Software 59 (10): 1–23. https://doi.org/10.18637/jss.v059.i10.